Вписать прямоугольник в прямоугольник

[otmoroz]

Здравствуйте!

Скажите, пожалуйста, как вписать прямоугольник в другой, больший прямоугольник?

Известны длина и ширина большего прямоугольника и меньшая сторона вписываемого прямоугольника.

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Вопросы

Comments

[_ТошА_]

боком поставить, если это возможно

[otmoroz]

нужно сделать вот так:

[horvatiya]

из рисунка otmoroz видно, что длина второй стороны вписываемого прямоугольника варьируется в некоторых пределах в зависимости от того, под каким углом будет наклонён внутренний прямоугольник по отношению к одной из сторон внешнего.

[Сандер]

horvatiya,

из рисунка otmoroz видно,

что при изменении "угла наклона", при неизменном С, вписанная фигура легко превращается в параллелограмм.

[Безумный Бог Безумия]

В общем случае - задача решения не имеет. Не каждый прямоугольник можно вписать внутрь каждого.

[horvatiya]

Сандер, я сделала все построения мысленно, вот так:
Давайте зафиксируем длину стороны С, возьмём её как отрезок С и "привяжем" к её крайним точкам две перпендикулярные ей прямые. (Для наглядности, пусть это будет отрезок С1-С2. Через точки С1 и С2 проведём две прямые, перпендикулярные отрезку С, и. соответственно, параллельные между собой. Назову эти прямые для наглядности соответственно с1 и с2. В общем, получилась этакая буква "Н" с ногами . уходящими в бесконечность)
Теперь размещу всю эту конструкцию относительно большого прямоугольника (БоПр), чтобы концы отрезка С (забыла, правильно ли так называть эти две крайние точки) легли на две взаимоперпендикулярные стороны БоПр, например так, как сделал это otmoroz - т.е. так что смог образоваться прямоугольник, вписанный в БоПр. (для определённости, назову точки пересечения прямых с1 и с2 с другими сторонами прямоугольника - С3 и С4).
Теперь, для доказательства что длина другой стороны мЕньшего прямоугольника может варьироваться в некоторых пределах, возьмём нашу конструкцию (наш отрезок С с "привязанными" к нему под углом 90 град. прямыми ) и чуть-чуть изменим её наклон, так, чтобы точки С1 и С2 заскользили по сторонам БоПр, но не вышли за его границы и даже не коснулись вершин БоПр.
Ага: у нас образовались новые точки пересечения прямых с1 ис2 с двумя другими сторонами БоПр: С3' и C4'. Из соображений, что изменился угол наклона, из которого высчитывается длина второй стороны, значит и изменилась длина второй стороны, при том, что прямоугольник остался вписанным в БоПр.

Простите за не совсем математическое изложение, очень давно не приходилось пользоваться терминологией.

[Сандер]

horvatiya, Боюсь, что Вы упускаете один момент.

возьмём нашу конструкцию (наш отрезок С с "привязанными" к нему под углом 90 град. прямыми ) и чуть-чуть изменим её наклон, так, чтобы точки С1 и С2 заскользили по сторонам БоПр, но не вышли за его границы и даже не коснулись вершин БоПр.

Поехали.
Мы скользим вершинами отрезка (С1С2) по сторонам большого прямоугольника. При этом отрезок поворачивается относительно большого прямоугольника. А заодно поворачиваются перпендикулярные отрезку прямые и... могут выйти в т. ч. и на одну сторону большого прямоугольника.
И вписанный прямоугольник перестает быть прямоугольным.

Дополнительные данные для размышлений:

Исходя из канонического определения прямоугольника можно догадаться, что противоположные стороны его равны по длине и параллельны. Как следствие, треугольники, ограниченные отрезком "С" и "контактными" сторонами большого прямоугольника тождественны. Так же, очевидно (на мой взгляд), что оставшиеся 2 треугольника должны быть подобны маленьким.

Еще, на всякий случай: центры окружностей, описанных вокруг каждого из прямоугольников будут совпадать.

[otmoroz]

Вопрос получается в нахождении угла наклона, нужно как-то выразить через меньшую сторону вписываемого прямоугольника и ширину и высоту большего прямоугольника

Через окружность можно построить вот так:



но тут не получается найти такой радиус, при котором меньшая сторона синего прямоугольника равна заданной C

[Безумный Бог Безумия]

Задача: Вписать [прямоугольник со стороной C] в [прямоугольник со сторонами A и B].
Обозначим за a и b - отношения в котором деляться стороны A и B, соответственно.
Очевидно, что здесь достаточно существования двух прямоугольных треугольников, при углах основания:
1. [Aa]²+[Bb]²=C²
2. [A(1-a)]²+[B(1-b)]²=D²
[D - неизвестно. Можно найти из равенства площадей прямоугольника сумме площадей фигур, которые его составляют.]
3. [Aa]x[Bb]+[A(1-a)]x[B(1-b)]+DxC=AxB
Система из трёх уравнений с тремя неизвестными всегда может быть решена. А вы все как думаете?

[horvatiya]

Сандер (по-прежнему ленюсь сделать построения на бумаге, настолько уверна в своём "мысленном построении, ну и опираясь на первый рисунок, и на Ваш тоже),
полностью согласна со всеми четырьмя предложениями, сказанным после рисунка, и с их явной очевидностью.
(Исходя из канонического определения прямоугольника можно догадаться, что противоположные стороны его равны по длине и параллельны. Как следствие, треугольники, ограниченные отрезком "С" и "контактными" сторонами большого прямоугольника тождественны. Так же, очевидно (на мой взгляд), что оставшиеся 2 треугольника должны быть подобны маленьким. Еще, на всякий случай: центры окружностей, описанных вокруг каждого из прямоугольников будут совпадать.)
И, конечно: углы, возникающие, если продолжить все стороны прямоугольников в бесконечность - все соответствуют школьному курсу геометрии (fi, и 90-fi, и 180-fi).

Однако , опровергаю эту часть вашего ответа:
заодно поворачиваются перпендикулярные отрезку прямые и... могут выйти в т. ч. и на одну сторону большого прямоугольника.
вот это слово "могут" - я заранее предупредила своими:

так, чтобы точки С1 и С2 заскользили по сторонам БоПр, но не вышли за его границы и даже не коснулись вершин БоПр

Т.е. выйти-то - могут, конечно! но для нас я беру только то множество прямоугольников, которые образуются при скольжении С1 и С2 по сторонам БоПр, пока С1 и С2 не вышли за разрешённые им границы.

(когда в след.раз найдётся время на развлечения и дойду до бумаги и до компа (второе труднее) - это м.б.и на следующей неделе - начну с того, что просто впишу попробую вписать два разных маленьких прямоугольника, но с одинаковой длиной одной из сторон, в один большой прямоугольник, и представлю сюда конкретные цифры. Если это не получится, во-первых, очень сильно удивлюсь, во-вторых, буду искать ошибку в своём "мыслительном" способе построения таких простых геометрическихх фигур, и только в третьих - решать эту конкретную задачу)

[horvatiya]

Безумный Бог Безумия,

Система из трёх уравнений с тремя неизвестными всегда может быть решена. А вы все как думаете?

Система из трёх независимых уравнений может быть решена.
(Пример системы зависимых уравнений с двумя неизвестными:
х+2=у
2х+4=2у)
Гм..или правильно говорить "зависимой системы уравнений"? - гм,15 лет прошло, не помню

[horvatiya]

otmoroz, гениально!
рисунок с окружностью, в смысле - гениально.
Из него очевидно видно, что Д (искомая сторона меньшего прямоугольника) может быть любой в интервале (А/2, корень из (А*А+В*В) )- попросту, должна быть больше половины длинной стороны, но меньше полудиагонали большого прямоугольника.
Однако для полного ответа на вопрос задачи на длину С должны быть наложены необходимые и достаточные условия...так, сейчас соображу... понятно, что С д.б. меньше 0,5*В (т.е. меньше половины мЕньшей стороны БоПр)...кажется, этого и достаточно.

otmoroz, вам нужно найти и конкретные способы построения данного прямоугольника, вписанного в прямоугольник? - тогда стройте посредствои циркуля. Если же у вас будет задан угол fi , то вы сможете вычислить и конкретное значение Д

[Сандер]

я заранее предупредила своими: так, чтобы точки С1 и С2 заскользили по сторонам БоПр, но не вышли за его границы и даже не коснулись вершин БоПр

horvatiya, Все замечательно, вот только Вы пропустили мое ... хммм... первое "предупреждение". Вы все же постройте на бумаге, не ленитесь. И скользните коротким отрезком.
Мне-то очевидно, что четырехугольник перестанет быть прямоугольником, но это очевидно далеко не всем.

Пожалуй я все же выйду из дискуссии ввиду очевидности решения приведенного Безумный Бог Безумия.
И да, там еще пара уравнений выводится из подобия треугольников, если приведенной выше системы будет мало.